Distribusi Dalam Fisika Statistik

DISTRIBUSI MAXWELL-BOLTZMANN

Distribusi Maxwell-Boltzmann menggambarkan kecepatan partikel dalam gas, di mana partikel tidak terus-menerus berinteraksi satu sama lain, tetapi bergerak bebas antara tabrakan pendek. Ini menggambarkan kemungkinan kecepatan partikel (besarnya vektor kecepatannya) yang dekat dengan nilai yang diberikan sebagai fungsi dari suhu dari sistem, massa partikel, dan bahwa nilai kecepatan. Distribusi probabilitas ini dikemukakan pertama kali oleh James Clerk Maxwell dan Ludwig Boltzmann.

Distribusi Maxwell-Boltzmann biasanya dianggap sebagai distribusi kecepatan molekul, tetapi juga dapat merujuk kepada distribusi untuk kecepatan, momentum, dan besarnya momentum molekul, yang masing-masing akan memiliki fungsi probabilitas distribusi yang berbeda, semua dari yang terkait. Kecuali dinyatakan lain, artikel ini akan menggunakan "distribusi Maxwell-Boltzmann" untuk merujuk pada distribusi kecepatan. Distribusi ini dapat dianggap sebagai besaran vektor 3-dimensi yang komponennya adalah independen dan terdistribusi normal dengan mean 0 dan standar deviasi a. Jika Xi didistribusikan sebagai , maka didistribusikan sebagai distribusi Maxwell-Boltzmann dengan parameter a. Selain parameter skala, distribusi identik dengan distribusi chi dengan 3 derajat kebebasan.

Aplikasi distribusi Maxwell-Boltzmann dalam Fisika

Distribusi Maxwell-Boltzmann berlaku untuk gas ideal dekat dengan kesetimbangan termodinamika, efek kuantum dapat diabaikan, dan kecepatan non-relativistik. Ini membentuk dasar dari teori kinetik gas, yang menjelaskan banyak gas bumi fundamental, termasuk tekanan dan difusi.

STATISTIK BOSE-EINSTEIN

Dasar pembeda antara statistik Maxwell-Boltzmann dan statistik Bose-Einstein adalah partikelnya. Statistik Maxwell Boltzmann mengatur partikel identik yang dapat dibedakan dengan suatu cara tertentu, sedangkan statistik Bose-einstein mengatur partikel identik yang tidak dapat dibedakan, walaupun partikel tersebut dapat dicacah. Dalam satu keadaan energi dapat diisi oleh lebih dari satu pertikel. Statistik ini berlaku untuk “boson” yaitu partikel dengan spin bulat seperti foton, fonon, ₂⁴He.

Dalam Statistik Bose-Einstein, semua keadaan kuntum dianggap berpeluang sama untuk diisi, sehingga g_jmenyatakan banyaknya keadaan yang memiliki energi sama Î_j. Setiap keadaan kuantum bersesuaian dengan satu sel dalam ruang fase, dan menentukan banyaknya cara N_j partikel tak terbedakan dapat didistribusikan dalam sel g_j.

Tinjau suatu tingkat energi yang mempunyai tiga keadaan energi dan diisi oleh tiga partikel tak terbedakan (g₁=3, N₁=3). Banyaknya susunan untuk distribusi partikel ke dalam keadaan-keadaan energi di tingkat itu adalah:

 

 

Banyaknya pengaturan dari tiga buah partikel tak terbedakan di antara tiga sel dari energi yang sama adalah sepuluh susunan, seperti pada gambar 8.1. Terdapat (N_j + g_j –1)! Pengaturan permutasi antara benda N_j + g_j –1, tetapi ini pada permutasi N_j! dengan permutasi N_j partikel di antara mereka dan (g_j-1)! Permutasi dari g_j-1 sel yang tidak mempengaruhi distribusi. Jadi terdapat  :

 pengaturan berbeda yang mungkin dari N_j partikel tak terbedakan di antara g_j sel.

Banyaknya cara W supaya N buah partikel dapat didistribusikan adalah hasil kali dari banyaknya pengaturan yang berbeda dari partikel diantara keadaan yang memiliki keadaan energi tertentu.

Persyaratan agar distribusi menjadi berpeluang terbesar adalah perubahan kecil ¶N_j dalam setiap N_jindividual tidak mempengaruhi harga W. Jika perubahan ln W yaitu  ¶ln W terjadi ketika N_j berubah dengan ¶N_j, persyaratan tersebut adalah:

                ¶ ln W = 0

Maka W pada pers. (..) menjadi:

 

STATISTIK FERMI-DIRAC

Sebelum pengenalan statistik Fermi-Dirac pada tahun 1926, pemahaman beberapa aspek perilaku elektron sulit karena fenomena yang tampaknya bertentangan. Sebagai contoh, elektronik kapasitas panas dari logam pada suhu kamar tampak datang dari 100 kali lebih sedikit elektron daripada berada di arus listrik. Ini juga sulit untuk memahami mengapa arus emisi , yang dihasilkan dengan menerapkan medan listrik tinggi untuk logam pada suhu kamar, hampir tidak tergantung pada suhu.
Kesulitan dihadapi oleh teori elektronik logam pada waktu itu adalah karena mengingat bahwa elektron yang (menurut statistik teori klasik) setara semua. Dengan kata lain, diyakini bahwa setiap elektron berkontribusi pada panas spesifik sejumlah urutan konstanta Boltzmann k. Masalah statistik yang tetap tak terpecahkan sampai penemuan statistik Fermi-Dirac.
Statistik Fermi-Dirac pertama kali diterbitkan pada tahun 1926 olehEnrico Fermi dan Paul Dirac . Menurut account, Pascual Jordan dikembangkan pada tahun 1925 statistik yang sama yang disebut Pauli statistik, tapi itu tidak dipublikasikan pada waktu yang tepat . Bahwa menurut Dirac, itu pertama kali dipelajari oleh Fermi, dan Dirac menyebutnya statistik Fermi dan partikel yang sesuai fermion.
Statistik Fermi Dirac diterapkan pada tahun 1926 oleh Fowler untuk menggambarkan runtuhnya sebuah bintang ke kerdil putih .Pada tahun 1927Sommerfeld diterapkan untuk elektron dalam logam dan pada tahun 1928Fowler dan Nordheim diterapkan ke lapangan emisi elektron dari logam. Fermi-Dirac statistik tetap menjadi bagian penting dari fisika.
Hukum distribsui statistik Fermi-Dirac

Elektron bebas mempunyai spin s=1/2, sehingga bilangan kuantum magnetiknya m_s = ±1/2; dalam keadaan tidak ada medan magnet elektron memiliki 2 keadaan yang berenergi sama (degenerate). Jadi g_i=2. Elektron dalam atom memiliki fungsi keadaan yang ditandai dengan bilangan-bilangan kuantum: n, l, m_l , s, m_s.  Untuk suatu harga ℓ ada (2ℓ +1) buah harga m ℓ ; sedangkan dengan s = 1/2, ada dua harga m_s = 1/2, -1/2. Jadi, tanpa medan magnet, ada 2(2 ℓ+1) buah keadaan yang degenerate. Jadi g_i = 2(2 ℓ +1). Berdasarkan prinsip Pauli, untuk suatu pasangan n, l, m_l , s, m_s hanya bisa ditempati oleh satu elektron. Jadi n_i  ≤  g_i.
Jika tingkat energi, E_i, akan diisi dengan n_i buah elektron, maka dengan degenerasi g_i, jumlah cara mengisikan partikel adalah: g_i(g_i-1) (g_i-2)…….. (g_i-n_i+1). Energi eφadalah energi minimum yang diperlukan untuk melepaskan sebuah elektron dari logam. Dalam kasus efek fotolistrik, elektron dilepaskan jika foton hν≥eφ. Besaran φadalah potensial yang disebut fungsi kerja dari logam. Pada suhu tinggi, beberapa elektron menempati keadaan di atas energi EF (lihat gambar (b)). Pada suhu yang cukup tinggi beberapa elektron memperoleh energi sebesar E=EF+eφsehingga lepas dari logam. Proses ini disebut emisi termionik, dan merupakan dasar bagi tabung elektron.

Share this post